„Gleichungen der Mathematischen Physik“ – Kurs 2800 Rubel. von der MSU, Ausbildung 15 Wochen. (4 Monate), Datum: 30. November 2023.
Verschiedenes / / December 02, 2023
Der Studiengang richtet sich an Bachelor- und Masterabsolventen sowie an Fachkräfte der mathematischen, ingenieurwissenschaftlichen oder naturwissenschaftlichen Fachrichtungen sowie an Hochschullehrer. Der Zweck des Kurses besteht darin, den Studenten in eine Reihe klassischer Probleme auf dem Gebiet der Gleichungen der mathematischen Physik einzuführen und ihm die grundlegenden Methoden zum Studium solcher Gleichungen zu vermitteln. Der Kurs behandelt klassisches Material zu den Gleichungen der mathematischen Physik (partielle Differentialgleichungen) innerhalb eines Studiensemesters. Die Abschnitte „Lineare und quasilineare Gleichungen erster Ordnung“, „Klassifikation linearer Gleichungen“, „Wellengleichung“, „Parabelgleichung“, „Grundlegende Lösungen“, „Laplace-Gleichung“. Wir werden uns mit den klassischen Problemformulierungen vertraut machen – dem Cauchy-Problem, Grenzproblem. Beherrschen wir die grundlegenden Methoden zum Studium von Gleichungen – direkte Integration, die Methode der Lösungsfortsetzung, die Fourier-Methode, die Methode der Grundlösungen, die Methode der Potentiale. Wir werden uns oft an die Ableitung dieser Gleichungen in Problemen der mathematischen Physik und an die Grenzen der Anwendbarkeit unserer Modelle erinnern.
Studienform
Fernkurse mit Fernunterrichtstechnologien
Zulassungsvoraussetzungen
Verfügbarkeit von VO oder SPO
2
KursDoktor der physikalischen und mathematischen Wissenschaften, Professorenposition: Professor der Abteilung für Grundlagen- und Angewandte Mathematik, Fakultät für Weltraumforschung, Moskauer Staatliche Universität, benannt nach M. V. Lomonosov
1. Erstes Treffen.
Einleitendes Wort. Grundprinzipien der Arbeit mit Gleichungen der mathematischen Physik. Beispiele für einfache Gleichungen. Einstufung. Einfache Gleichungen lösen, indem man sie auf gewöhnliche Differentialgleichungen reduziert. Ersetzen von Variablen in einer Gleichung.
2. Gleichungen erster Ordnung – linear und quasilinear.
Lineare Gleichungen. Finden eines geeigneten Ersatzes – Erstellen und Lösen eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Erste Integrale des Systems. Eigenschaften. Quasilineare Gleichungen. Eine Lösung in impliziter Form finden.
3. Cauchy-Problem. Klassifikation linearer Gleichungen zweiter Ordnung.
Erklärung des Cauchy-Problems. Satz über die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des Cauchy-Problems. Klassifikation linearer Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Reduktion auf kanonische Form.
4. Hyperbolische, parabolische und elliptische Gleichungen.
Klassifizierung linearer Gleichungen zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten in der Ebene. Hyperbolischer, parabolischer und elliptischer Typ. Hyperbolische Gleichungen lösen. Probleme mit Anfangs- und Randbedingungen.
5. String-Gleichung.
Eindimensionale Wellengleichung auf der gesamten Achse. Vorwärts- und Rückwärtswelle. d'Alemberts Formel. Duhamel-Integral. Randbedingungen für die Gleichung auf der Halbachse. Grundtypen von Randbedingungen. Fortsetzung der Lösung. Der Fall eines endlichen Segments.
6. Fourier-Methode am Beispiel der Stringgleichung.
Die Idee der Fourier-Methode. Der erste Schritt besteht darin, eine Grundlage zu finden. Der zweite Schritt besteht darin, gewöhnliche Differentialgleichungen für die Fourier-Koeffizienten zu erhalten. Der dritte Schritt ist die Berücksichtigung der Ausgangsdaten. Konvergenz von Reihen.
7. Diffusionsgleichung (endliches Segment).
Herleitung der Gleichung. Problemstellung (Anfangs- und Randbedingungen). Fourier-Methode. Berücksichtigung der rechten Seite und Inhomogenität der Randbedingungen. Konvergenz von Reihen.
8. Diffusionsgleichung (ganze Achse).
Fourier-Transformation, Inversionsformel. Lösen der Gleichung mit der Fourier-Transformation. Satz – Begründung der Methode (zwei Fälle). Poissons Formel. Der Fall einer Gleichung mit der rechten Seite.
9. Verallgemeinerte Funktionen.
Schreiben der Poisson-Formel als Faltung. Aufzeichnung in Form einer Faltung der Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf einem endlichen Segment. Schwartz-Klasse. Beispiele für Funktionen aus der Klasse. Definition verallgemeinerter Funktionen, Verbindung mit klassischen Funktionen. Multiplikation einer verallgemeinerten Funktion mit einer Grundfunktion, Differentiation. Konvergenz verallgemeinerter Funktionen. Beispiele für generische Funktionen.
10. Arbeiten mit generischen Funktionen.
Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen in verallgemeinerten Funktionen. Fourier-Transformation verallgemeinerter Funktionen. Faltung. Direktes Produkt. Der Träger einer verallgemeinerten Funktion. Lösen der inhomogenen eindimensionalen Wärmegleichung mithilfe der Fundamentallösung. Grundlegende Lösung eines gewöhnlichen Differentialoperators für ein Intervall.
11. Grundlegende Lösungen.
Herleitung der Poisson-Formel für die mehrdimensionale Wärmegleichung. Herleitung der Kirkhoff-Formel. Herleitung der Poisson-Formel für die Wellengleichung. Lösen von Problemen mit der Methode der Variablentrennung, der Methode der Überlagerung.
12. Laplace-Gleichung.
Herleitung der Laplace-Gleichung. Vektorfeld – Potenzial, Fluss durch eine Oberfläche. Volumenpotenzial. Einfaches Schichtpotential. Doppelschichtpotenzial. Logarithmisches Potenzial.
13. Dirichlet-Problem, Neumann-Problem und Greensche Funktion.
Harmonische Funktionen. Prinzip des schwachen Extremums. Satz von Harnack. Strenges Maximumprinzip. Eindeutigkeitssatz. Mittelwertsatz. Endlose Geschmeidigkeit. Satz von Liouville. Greensche Formel. Greensche Funktion, ihre Eigenschaften. Lösung des Poisson-Problems mit Dirichlet-Bedingungen unter Verwendung der Green-Funktion. Andere Randwertprobleme. Konstruktion der Green-Funktion durch die Reflexionsmethode.
14.Mehrdimensionale Fourier-Methode.
Lösen von Problemen mit der Fourier-Methode. Verschiedene Randbedingungen. Bessel-Funktionen. Legendre-Polynom. Rückblick auf den abgeschlossenen Kurs. Zusammenfassend.