„Naked Statistiken“ - das interessanteste Buch über die langweiligste Wissenschaft

Riddle von Monty Hall

„Riddle von Monty Hall“ - das berühmte Problem der Theorie der Wahrscheinlichkeit, die Teilnehmer der Spielshow namens Lassen Sie uns zu verwirren Machen Sie einen Deal ( «, um einen Deal zu machen"), ist immer noch beliebt in einigen Ländern, die im Jahr 1963 in den Vereinigten Staaten uraufgeführt Jahr. (Ich erinnere mich, jedes Mal wenn ich diese Show als Kind beobachtet, wenn man nicht wegen Krankheit in der Schule gehen.) In der Einleitung zu dem Buch habe ich bereits darauf hingewiesen, dass in diesem Spiel zeigt für Statistiker interessant sein kann. № 1, die Tür 2 und die Tür № № 3: Am Ende ihrer Release-Party das Finale, immer mit Monti Halle vor drei großer Tür zu erreichen. Monty Hall erklärt Finalist, die sehr wertvollen Preis hinter einer dieser Türen versteckt ist - wie ein neues Auto, sondern auch für die beiden anderen - eine Ziege. Finalist hatte eine der Türen zu wählen und bekommen, was dahinter war. (Ich weiß nicht, ob es unter den Teilnehmern der Show war mindestens eine Person, die eine Ziege bekommen will, aber der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass die überwiegende Mehrheit der Teilnehmer geträumt

neues Auto.)

Die anfängliche Gewinnwahrscheinlichkeit ist ganz einfach zu bestimmen. Es gibt drei Türen, mit zwei Ziegenhäuten, und zum dritten - das Auto. Wenn die Teilnehmer der Show zusammen mit Monty Hall vor diesen Türen steht, hat er eine Chance, in drei, eine Tür zu wählen, hinter dem sich ein Auto da ist. Aber, wie oben erwähnt, Machen wir ein Abkommen liegt der Trick, verewigt diesen Film und seine Führung in der Literatur über die Theorie der Wahrscheinlichkeit. Nach den Finalisten der Show wird eröffnet man einige der drei Türen, Monty Hall Punkt aus den beiden verbleibenden Türen, hinter denen immer eine Ziege. Dann Monty Hall fragt Finalisten, wenn er wollte, seine Meinung ändern, das heißt, die zuvor ausgewählt sie geschlossene Tür zu verlassen, um eine andere Tür geschlossen.

Sagen wir zum Beispiel, dass der Benutzer 1 eine Nummer auf der Tür trat. Monty Hall dann die Tür Nummer 3 geöffnet, hinter der eine Ziege. Zwei Türen, Tür Nummer 1 und Nummer 2 Tür geschlossen bleibt wie zuvor. Wenn ein Preis hinter einer Tür Nummer 1 ist, hätte der Finalist gewonnen, aber wenn für Tür Nummer 2, hätte er verloren. Es war in diesem Moment Monty Hall mit der Frage nach dem Spieler bezieht sich, ob er seine erste Wahl (in diesem Fall Müll bis Tür 1 für Türen 2) zu ändern. Natürlich erinnern Sie sich, dass beide Türen bis geschlossen. Die einzige neue Information, dass der Teilnehmer empfangen hat, ist, dass das Kind hinter einem der beiden Türen war, die er nicht wählen.

Sie Finalist sollte zugunsten der anfänglichen Wahl der Türen 2 aufgegeben werden?

Die Antwort lautet: Ja, es sollte. Wenn er zu der ursprünglichen Auswahl bleiben wird, die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen wertvollen Preis zu gewinnen sein wird ⅓; wenn er seine Meinung ändert und an die Tür Nummer 2 zeigen wird, ist die Wahrscheinlichkeit, einen wertvollen Preis zu gewinnen sein ⅔. Wenn Sie mir nicht glauben, lesen Sie weiter.

Ich gebe zu, dass eine solche Reaktion auf den ersten Blick alles andere als offensichtlich. Es scheint, dass, egal, was von den anderen beiden Türen einen Finalisten gewählt hat, ist die Wahrscheinlichkeit eines wertvollen Preises in beiden Fällen gleich zu ⅓. Es gibt drei verschlossene Türen. Zunächst wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein Preis hinter alle von ihnen versteckt ist ⅓. Ist hat eine Wertentscheidung ihre Wahl zugunsten einer anderen geschlossenen Tür Finalisten ändern?

Natürlich, da der Haken ist, dass Monty Hall weiß, was sich hinter jeder Tür ist. Wenn ein Finalist Tür Nummer 1 wählt, und es wird wirklich ein Auto sein kann Monty Hall öffnet jede Tür Nummer 2 oder Nummer 3 Türen, eine Ziege zu zeigen, dahinter versteckt.

Wenn ein Finalist Tür Nummer 1 wählt, und das Auto wird hinter Tür Nummer 2, die Monty Hall öffnet Tür Nummer 3 sein.

Wenn der Finalist die Tür Nummer 1, zeigen wird und das Auto wird hinter Tür Nummer 3, die Monty Hall öffnet Tür Nummer 2 sein.

Er änderte seine Meinung nach den führenden Open einige der Türen, erhält Finalist einen Selektionsvorteil von zwei Türen statt einem. Ich werde versuchen, Sie von der Richtigkeit dieser Analyse auf drei verschiedene Arten zu überzeugen.

Die erste - die empirische. Im Jahr 2008 geschrieben Kolumnist der Zeitung The New York Times, John Tayerni Material über das "Phänomen der Monty Hall." Nach der Veröffentlichung Personal entwickelte ein interaktives Programm, das Ihnen dieses Spiel spielen und für sich selbst entscheiden, ihre ursprüngliche Wahl zu ändern oder nicht. (Das Programm bietet sogar kleine Ziegen und avtomobilchiki, die hinter der Tür erscheinen.) Programm Es fängt Ihre Gewinne, wenn Sie Ihre erste Wahl zu ändern, und wenn links nach seinem eigenen Meinung. Ich zahlte eine seiner Töchter für ihr dieses Spiel 100 Mal zu spielen, jedes Mal die anfängliche Wahl zu ändern. Ich zahlte auch ihren Bruder, so dass er auch dieses Spiel 100 Mal, jedes Mal gespielt hat, die ursprüngliche Entscheidung zu verlassen. Tochter gewann 72-mal; ihr Bruder - 33mal. Die Bemühungen wurden alle zwei Dollar belohnt.

Diese Episoden des Spiels Machen wir einen Deal zeigen das gleiche Muster. Laut Leonard Mlodinovu, Autor des Säufer Walk, wer die Finalisten änderte seinen die anfängliche Wahl des Gewinners ist etwa zwei Mal häufiger als diejenigen, die blieben bei ihrer Meinung.

Meine zweite Erklärung dieses Phänomens beruht auf Intuition. Lassen Sie uns sagen, dass die Regeln des Spiels etwas geändert haben. Zum Beispiel finalisten beginnt mit einen der drei Türen Auswahl: Türen № 1 № № Türen Türen 2 und 3, wie es ursprünglich vorgesehen. Aber dann, bevor Sie einige der Türen öffnen, hinter der eine Ziege versteckt, Monty Hall fragt: „Sind Sie damit einverstanden, ihre aufgeben Wahl im Austausch für die restlichen zwei Türen zu öffnen? „Also, wenn Sie Tür Nummer 1 wählen, können Sie Ihre Meinung zu Gunsten der Nummer 2 Türen und Türen ändern 3. Wenn der erste Punkt an der Tür Nummer 3 können Sie Tür Nummer 1 und Nummer 2 Tür wählen. Usw.

Für Sie wäre es nicht eine besonders schwierige Entscheidung sein: es ist offensichtlich, dass Sie sich weigern sollten die anfängliche Wahl zugunsten der beiden anderen Türen, weil es erhöht die Gewinnchancen mit ⅓ zu ⅔. Das interessanteste ist, dass es im Wesentlichen eine Version des Monty Hall bietet ein richtiges Spiel, nachdem die Tür öffnen, hinter der eine Ziege versteckt. Die grundlegende Tatsache ist, dass, wenn Sie die Gelegenheit gegeben wurden zwei Türen zu wählen, hinter einem von ihnen, in jedem Fall würde eine Ziege versteckt. Wenn Monty Hall öffnet die Tür, hinter der sich eine Ziege, und nur dann fragt Sie Stimmen Sie zu, ihre ursprüngliche Wahl zu ändern, ist es deutlich erhöht Ihre Gewinnchancen wertvoll Preis! In der Tat, Monty Hall sagt Ihnen: „Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Preis hinter einer der beiden Türen versteckt ist, dass Sie das erste Mal nicht gewählt haben, ist ⅔, aber es ist immer noch mehr als ⅓!»

Dies kann wie folgt dargestellt werden. Sagen Sie bitte die Tür Nummer 1 gezeigt sind. Danach Monty Hall gibt Ihnen die Möglichkeit, die ursprüngliche Entscheidung für Türen 2 und Nummer 3 Türen zu verlassen. Sie sind damit einverstanden und haben sie zwei Türen, die bedeutet, dass Sie jeden Grund zu erwarten, einen wertvollen Preis mit Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ⅔, anstatt ⅓. Was würde passieren, wenn, in diesem Moment, Monty Hall die Tür Nummer 3 geöffnet - ein „Ihrer“ Tür - und es stellte sich eine Ziege sein aus? würde schüttelt in der Entscheidung über die Tatsache, dass Ihr Vertrauen? Natürlich nicht. Wenn das Auto hinter Tür Nummer drei verborgen ist, würde Monty Hall hat die Tür Nummer 2 geöffnet! Er hat Ihnen nichts zeigen.

Wenn das Spiel auf nakatannomu Szenario ist, Monty Hall wirklich gibt Ihnen die Wahl zwischen der Tür, Sie am Anfang angegeben, und die beiden verbleibenden Türen, hinter einer davon sein kann, Auto. Wenn Monty Hall öffnet die Tür, hinter der eine Ziege, es bietet Ihnen nur einen Gefallen, indem demonstriert, für die der beiden anderen Türen kein Auto haben. Sie haben die gleiche Wahrscheinlichkeit in den beiden folgenden Szenarien zu gewinnen.

1. Tür Wahl Nummer 1, dann ist die Zustimmung der „Schalter“ auf der Tür der Nummer 2 und Nummer 3 Tür, bevor beide werden, eine Tür zu öffnen.
2. Die Wahl Anzahl der Türen 1, dann ist die Zustimmung der „Schalter“ an der Tür von Nummer 2, nach Monty Hall zeigen Sie Ziege der Tür Nummer 3 (oder wählen Sie Türen 3, nachdem Monty Hall zeigen Sie eine Ziege hinter Tür Nummer 2).

In beiden Fällen stellt die Weigerung der Ausgangslösung Sie den Vorteil der beiden Türen, verglichen mit einem heraus und Sie können damit ihre Gewinnchancen verdoppeln: mit ⅓ bis ⅔.

Meine dritte Ausführungsform stellt eine radikalere Version der gleichen Basis Intuition. Nehmen wir an Monty Hall bietet Ihnen eine von 100 Türen zu wählen (anstelle eines der drei). Sobald Sie das tun, sagen wir, an die Tür der Zahl zeigt 47, öffnet sie die restlichen 98 Türen auf, hinter denen die Ziegen. Nun verschlossene Türen sind nur zwei: Ihre Tür Nummer 47, und eine andere, beispielsweise Türnummer 61. Sollten Sie Ihre erste Wahl im Stich lassen?

Natürlich ja! Mit Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent ist das Auto hinter einem der Türen, die Sie am Anfang wählen. Monty Hall gab dir einen Gefallen, indem 98 solche Türen zu öffnen, das Auto war nicht für sie. Somit gibt es nur eine 1 in 100 Chance, dass Ihre ursprüngliche Wahl (Tür Nummer 47) korrekt. Zur gleichen Zeit gibt es eine 99 von 100 Chance, dass Ihre erste Wahl ist falsch. Wenn ja, dann das Auto hinter der restlichen Tür ist, dann gibt es die Tür Nummer 61. Wenn Sie eine Chance, spielen wollen 99 mal Gewinn von 100, dann müssen Sie auf „Schalter“ an der Tür der Nummer 61.

Kurz gesagt, wenn Sie jemals in die Machen wir einen Deal Spiel, Sie auf jeden Fall brauchen geben müssen teilnehmen von seiner ursprünglichen Entscheidung, wenn Monty Hall (oder derjenige, der sein Stellvertreter sein wird) wird Ihnen die Möglichkeit geben, Wahl. Mehr von diesem Beispiel universelle Schlussfolgerung ist, dass Ihre Intuitionen über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens bestimmter Ereignisse manchmal Sie täuschen können.

"Naked Statistik" von Charles Whelan

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